NOTACIÓN POR EXTENSIÓN
En matemáticas, un conjunto es una colección de objetos considerada como un objeto en sí. Los objetos de la colección pueden ser cualquier cosa: personas, números, colores, letras, figuras, etc. Cada uno de los objetos en la colección es un elemento o miembro del conjunto. Por ejemplo, el conjunto de los colores del arcoíris es:
- AI = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta}
Un conjunto suele definirse mediante una propiedad que todos sus elementos poseen. Por ejemplo, para los números naturales, si consideramos la propiedad de ser un número primo, el conjunto de los números primos es:
- P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...}
Un conjunto queda definido únicamente por sus miembros y por nada más. En particular el orden en el que se representen estos es irrelevante. Además, cada elemento puede aparecer de manera idéntica una sola vez, esto es, no puede haber elementos totalmente idénticos repetidos. Por ejemplo:
- S = {Lunes, Martes, Miércoles, Jueves, Viernes} = {Martes, Viernes, Jueves, Lunes, Miércoles}
- AI = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta} = {Amarillo, Naranja, Rojo, Verde, Violeta, Añil, Azul}
Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos. El conjunto de los número naturales es infinito, pero el conjunto de los planetas en el Sistema Solar es finito (tiene ocho elementos). Además, con los conjuntos pueden combinarse mediante operaciones, de manera similar a las operaciones con números.
Los conjuntos son un concepto primitivo, en el sentido de que no es posible definirlos en términos de nociones más elementales, por lo que su estudio puede realizarse de manera informal, apelando a la intuición y a la lógica. Por otro lado, son el concepto fundamental de la matemática: mediante ellos puede formularse el resto de objetos matemáticos, como los números y las funciones, entre otros. Su estudio detallado requiere pues la introducción de axiomas y conduce a la teoría de conjuntos.
Definición
Georg Cantor, uno de los fundadores de la teoría de conjuntos, dio la siguiente definición de conjunto
[...] entiendo en general por variedad o conjunto toda multiplicidad que puede ser pensada como unidad, esto es, toda colección de elementos determinados que pueden ser unidos en una totalidad mediante una ley.
Los elementos o miembros de un conjunto pueden ser cualquier cosa: números, personas, letras, otros conjuntos, etc. Los conjuntos se denotan habitualmente por letras mayúsculas.
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A y B tienen los mismos elementos si cada elemento de A es elemento de B y cada elemento de B pertenece a A.
Descripción de un conjunto
Existen dos maneras de describir o especificar los elementos de un conjunto:
Una de ellas es mediante una definición intensiva o por comprensión, describiendo una condición que cumplen sus elementos :
- A es el conjunto cuyos miembros son los números enteros positivos menores que 5.
- B es el conjunto de colores de la bandera de México.
La segunda manera es por extensión, esto es, listando cada miembro del conjunto. En una definición extensiva se escriben los elementos del conjuntos entre llaves:
- C = {4, 2, 3, 1}
- D = {blanco, rojo, verde}
Puesto que un conjunto queda especificado únicamente por sus elementos, a menudo pueden usarse ambas definiciones, intensivas y extensivas, para especificar un mismo conjunto. Por ejemplo:
- «El conjunto de las vocales en español» = {e, u, a, i, o}
- En los ejemplos anteriores, se tiene que A = C y B = D
Debido a la propiedad de la extensionalidad, el orden en el que se especifiquen los elementos de un conjunto es irrelevante (a diferencia de una tupla o una sucesión). Por ejemplo:
- C′ = {1, 2, 4, 3} es igual a C = {4, 2, 3, 1}
- D′ = {verde, blanco, rojo} es igual a D = {blanco, rojo, verde}
Esto es así debido a que lo único que define un conjunto son sus elementos. Por ejemplo, cada elemento de D es un elemento de D′ y viceversa, luego ambos son necesariamente el mismo conjunto. Del mismo modo, y a diferencia de un multiconjunto, cada elemento de un conjunto es único: no puede repetirse o pertenecer «más de una vez». Esto significa que, por ejemplo:
- {4, 3, 2, 4} = {4, 2, 3} ,
ya que los elementos de ambos conjuntos son los mismos: el 4, el 3 y el 2. No sería el caso si los números que consideramos tuvieran alguna otra propiedad que los diferenciase:
- {4, 3, 2, 4} es distinto de {4, 2, 3} y de {4, 2, 3}
Es habitual utilizar las llaves también en las definiciones intensivas, especificando la propiedad que define al conjunto:
- {Vocales del español} = {o, u, i, e, a}
- {Palos de la baraja francesa} = {♠, ♣, ♥, ♦}
Otra notación habitual para denotar por comprensión es:
- A = {m : m es un entero, y 1 ≤ m ≤ 5}
- B = {c : c es un color de la bandera de México}
- F = {n2 : n es un entero y 1 ≤ n ≤ 10} ,
donde en esta expresión los dos puntos («:») significan «tal que». Así, el conjunto F anterior es el conjunto de «los números de la forma n2 tal que n es un número natural entre 1 y 10 (ambos inclusive)», o sea, el conjunto de los diez primeros cuadrados de números naturales, {1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100}. En lugar de los dos puntos se utiliza también la barra vertical («|») uoblicua «/» .
La relación clave en un conjunto es la pertenencia: cuándo es un elemento miembro de un conjunto. Si a es un miembro de B, se denota por a ∈ B, y si no lo es, se denota por a ∉ B. Por ejemplo, respecto a los conjuntos A, B y F de la sección anterior, podemos decir:
- 4 ∈ A , 36 ∈ F , verde ∈ B , pero
- 7 ∉ A , 8 ∉ F , azul ∉ B
Y se dice entonces que 4 pertenece al conjunto A, 4 es un miembro de A, 4 está en A o A contiene 4.
Subconjuntos
Un conjunto B es una parte o un subconjunto del conjunto A, si todo elemento de B es de A.
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Esta definición es equivalente a: «si todo elemento de un conjunto B pertenece también a otro conjunto A se dice que B esta contenido enA, o bien que B esta incluido en A. Esta idea se indica con el signo ⊂ y se lee 'esta contenido en'».8
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Si B es un subconjunto de A, se escribe como B ⊂ A y se dice que «B está contenido en A». También puede escribirse A ⊃ B, y decirse que A es un superconjunto de B y también «A contiene a B» o «A incluye a B».
Subconjunto propio e impropios
En algunos textos de redacción antigua diferencian entre los subconjuntos: los subconjuntos, los subconjuntos propios y los impropios, esta notación no es aconsejable al ser obsoleta, dado que las estructuras algebraicas de orden y en álgebra de conjuntos, parten de la propiedad reflexiva, por eso un conjunto cualesquiera se considera un subconjunto de si mismo en todos los casos, y por ello se define:
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Si B no sólo contiene algunos sino todos los elementos A, B no sólo es un subconjunto de A, sino que ambos conjuntos son iguales, A = B. El otro caso posible es que B contenga algunos pero no todos los elementos de A: B es un subconjunto de A pero no son iguales. Se dice entonces que B es un subconjunto propio de A y se denota B ⊊ A, es decir: B ⊆ A pero B ≠ A (y equivalentemente, para un superconjunto propio, A ⊋ B).
También se utiliza la notación B ⊂ A y A ⊃ B, pero según el autor esto puede denotar subconjunto, B ⊆ A y A ⊇ B; o subconjunto propio, B ⊊ A y A ⊋ B.
Ejemplos.
- El «conjunto de todos los hombres» es un subconjunto propio del «conjunto de todas las personas».
- {1, 3} ⊊ {1, 2, 3, 4}
- {1, 2, 3, 4} ⊆ {1, 2, 3, 4}
- Conjuntos disjuntos
Un conjunto A es disjunto a otro B si los elementos de A no pertenecen a B:
la disjunción de conjuntos es reciproca y si A es disjunto de B, B es disjunto de A:
Por lo tanto dos conjuntos A y B son disjuntos si no tienen elementos comunes, que también puede decirse:
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Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos. En el caso de un conjunto finito podemos contar los elementos del conjunto:
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El cardinal se denota por |A|, card(A) o #A. Así, en los ejemplos anteriores, se tiene que |A| = 4 (cuatro números), |B| = 3 (tres colores) y |F| = 10 (diez cuadrados). El único conjunto cuyo cardinal es 0 es el conjunto vacío ∅.
En un conjunto infinito no hay un número finito de elementos. Es el caso por ejemplo de los números naturales: N = {1, 2, 3, ...}. Sin embargo, los conjuntos infinitos pueden compararse, y resulta que existen conjuntos infinitos «más grandes» que otros. El «número de elementos» de un conjunto infinito es un número transfinito.
Operaciones con conjuntos
Existen varias operaciones básicas que pueden realizarse para, partiendo de ciertos conjuntos dados, obtener nuevos conjuntos:
- Unión: (símbolo ∪) La unión de dos conjuntos(A y B), que se representa como A ∪ B), es el conjunto de todos los elementos que pertenecen al menos a uno de los conjuntos A y B.
- Intersección: (símbolo ∩) La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∩ B de los elementos comunes a A y B.
- Diferencia: (símbolo \) La diferencia del conjunto A con B es el conjunto A \ B que resulta de eliminar de A cualquier elemento que esté en B.
- Complemento: El complemento de un conjunto A es el conjunto A∁ que contiene todos los elementos que no pertenecen a A, respecto a un conjunto U que lo contiene.
- Diferencia simétrica: (símbolo Δ) La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es el conjunto A Δ B con todos los elementos que pertenecen, o bien a A, o bien a B, pero no a ambos a la vez.
- Producto cartesiano: (símbolo ×) El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto A × B de todos los pares ordenados (a, b) formados con un primer elemento a perteneciente a A, y un segundo elemento b perteneciente a B.
- Ejemplos
- {1, a, 0} ∪ {2, b} = {2, b, 1, a, 0}
- {5, z, ♠} ∩ {♠, a} = {♠}
- {5, z, ♠} \ {♠, a} = {5, z}
- {♠, 5} Δ {8, #, ♠} = {5, #, 8}
- {1, a, 0} × {2, b} = {(1, 2), (1, b), (a, 2), (a, b), (0, 2), (0, b)}
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