EVIDENCIAS PROBABILIDAD Y ESTADISTICA: MOMENTOS

MOMENTOS

Los momentos son una forma de generalizar toda la teoría relativa a los parámetros estadísticos y guardan relación con una buena parte de ellos.

Dada una distribución de datos estadísticos x₁, x₂, ..., x_n, se define el momento central o momento centrado de orden k como

$\mu_k = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^k}{n}$

Para variables continuas la definición cambia sumas discretas por integrales (suma continua), aunque la definición es, esencialmente, la misma.

De esta definición y las propiedades de los parámetros implicados que se han visto más arriba, se deduce inmediatamente que:

$\mu_0 = 1; \; \mu_1 = 0; \; \mu_2 = \sigma^2; \;$

y que

$\gamma_1 = \frac{\mu_3}{\mu_2^3}; \; \; \gamma_2 = \frac{\mu_4}{\mu_2^4}$

Se llama momento no centrado de orden k a la siguiente expresión:

$m_k = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i)^k}{n}$

De la definición se deduce que:

$m_0 = 1; \; m_1 = \bar{x}; \; m_2 - m_1^2 = \sigma^2;$

Usando el binomio de Newton, puede obtenerse la siguiente relación entre los momentos centrados y no centrados:

$\mu_k = \sum_{i=1}^n (-1)^k {k\choose i} m_{k-i} m_1 ^i$

Los momentos de una distribución estadística la caracterizan unívocamente

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