domingo, 4 de noviembre de 2012

DIAGRAMA DE ARBOL

DIAGRAMA DE ARBOL


Un diagrama de árbol es una herramienta que se utiliza para determinar todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. En el cálculo de la probabilidad se requiere conocer el número de objetos que forman parte del espacio muestral, estos se pueden determinar con la construcción de un diagrama de árbol.
El diagrama de árbol es una representación gráfica de los posibles resultados del experimento, el cual consta una serie de pasos, donde cada uno de los pasos tiene un número finito de maneras de ser llevado a cabo. Se utiliza en los problemas de conteo y probabilidad.
Para la construcción de un diagrama en árbol se partirá poniendo una rama para cada una de las posibilidades, acompañada de su probabilidad. Cada una de esta ramas se conoce como rama de primera generación.
En el final de cada rama de primera generación se constituye a su vez, un nudo del cual parten nuevas ramas conocidas como ramas de segunda generación, según las posibilidades del siguiente paso, salvo si el nudo representa un posible final del experimento (nudo final).
Hay que tener en cuenta que la construcción de un árbol no depende de tener el mismo número de ramas de segunda generación que salen de cada rama de primera generación y que la suma de probabilidades de las ramas de cada nudo ha de dar 1.
Existe un principio sencillo de los diagramas de árbol que hace que éstos sean mucho más útiles para los cálculos rápidos de probabilidad: multiplicamos las probabilidades si se trata de ramas adyacentes (contiguas), el ejemplo de alumna de la primera facultad, o bien las sumamos si se trata de ramas separadas que emergen de un mismo punto, el ejemplo de encontrar un alumno.
Ejemplos
Una universidad está formada por tres facultades:
  • La 1ª con el 50% de estudiantes.
  • La 2ª con el 25% de estudiantes.
  • La 3ª con el 25% de estudiantes.
Las mujeres están repartidas uniformemente, siendo un 60% del total en cada facultad.
Árbol con el planteamiento del problema.
¿Probabilidad de encontrar una alumna de la primera facultad?
Árbol con la probabilidad de encontrar una mujer en la primera facultad.

P(alumna \ de \ la \ 1^a \ facultad) = 0,5 \cdot 0,6 = 0,3

¿Probabilidad de encontrar un alumno varón?
Árbol con la probabilidad de encontrar un varón en la universidad.

P(alumno \ var\acute{o}n) = 0,5 \cdot 0,4 + 0,25 \cdot 0,4 + 0,25 \cdot 0,4= 0,4 pero también podría ser lo contrario

DIAGRAMA DE VENN

DIAGRAMA DE VENN


se conoce al diagrama de Venn  como una forma de mostrar de manera gráfica, una agrupación de elementos según los conjuntos, siendo representado cada conjunto con una circunferencia. Esta clase de gráficos se emplean en la Teoría de Conjuntos , dentro de las matemáticas modernas y nos explica el funcionamiento de un conjunto de elementos al realizar alguna operación con ellos.
Diagramas de Venn
La posición en que estén dispuestas las circunferencias, nos mostrará el vínculo que existe entre los conjuntos.
En la imagen de abajo, vemos cómo los círculos del grupo A y el B se encuentran solapados, poseyendo un área en común que comparten ambos grupos y en la que se encuentran todos los elementos del conjunto A y B.
diagrama de venn Teoria de los Conjuntos matematicas
En la imagen de abajo, el círculo del grupo A se haya dentro del círculo B, de manera que todos los componentes de B también se encuentran contenidos en A.
diagrama de venn circulos circunferencias
El nombre de estos diagramas fue designado en honor a su autor, John Venn , que era un matemático y filósofo británico. John expuso por primera vez este diagrama en 1880, apareciendo en el artículo “De la representación mecánica y diagramática de proposiciones y razonamientos” e inspirándose inicialmente en el cálculo de clases deBoole .
john-venn diagrama circulos
John Venn (1834 – 1923)

NOTACION POR EXTENCION

NOTACIÓN POR EXTENSIÓN


En matemáticas, un conjunto es una colección de objetos considerada como un objeto en sí. Los objetos de la colección pueden ser cualquier cosa: personas, números, colores, letras, figuras, etc. Cada uno de los objetos en la colección es un elemento o miembro del conjunto. Por ejemplo, el conjunto de los colores del arcoíris es:
AI = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta}
Un conjunto suele definirse mediante una propiedad que todos sus elementos poseen. Por ejemplo, para los números naturales, si consideramos la propiedad de ser un número primo, el conjunto de los números primos es:
P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...}
Un conjunto queda definido únicamente por sus miembros y por nada más. En particular el orden en el que se representen estos es irrelevante. Además, cada elemento puede aparecer de manera idéntica una sola vez, esto es, no puede haber elementos totalmente idénticos repetidos. Por ejemplo:
S = {Lunes, Martes, Miércoles, Jueves, Viernes} = {Martes, Viernes, Jueves, Lunes, Miércoles}
AI = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta} = {Amarillo, Naranja, Rojo, Verde, Violeta, Añil, Azul}
Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos. El conjunto de los número naturales es infinito, pero el conjunto de los planetas en el Sistema Solar es finito (tiene ocho elementos). Además, con los conjuntos pueden combinarse mediante operaciones, de manera similar a las operaciones con números.
Los conjuntos son un concepto primitivo, en el sentido de que no es posible definirlos en términos de nociones más elementales, por lo que su estudio puede realizarse de manera informal, apelando a la intuición y a la lógica. Por otro lado, son el concepto fundamental de la matemática: mediante ellos puede formularse el resto de objetos matemáticos, como los números y las funciones, entre otros. Su estudio detallado requiere pues la introducción de axiomas y conduce a la teoría de conjuntos.

Definición
Georg Cantor, uno de los fundadores de la teoría de conjuntos, dio la siguiente definición de conjunto
[...] entiendo en general por variedad o conjunto toda multiplicidad que puede ser pensada como unidad, esto es, toda colección de elementos determinados que pueden ser unidos en una totalidad mediante una ley.
Los elementos o miembros de un conjunto pueden ser cualquier cosa: números, personas, letras, otros conjuntos, etc. Los conjuntos se denotan habitualmente por letras mayúsculas.

Dos conjuntos A y B que tengan los mismos elementos son el mismo conjunto, A =B.
A y B tienen los mismos elementos si cada elemento de A es elemento de B y cada elemento de B pertenece a A.

Descripción de un conjunto
Conjunto de personas. El conjunto de «personas» mostrado en la imagen, A, tiene 8 miembros. Este conjunto puede representarse mediante llaves o mediante un diagrama de Venn. El orden de las personas en A es irrelevante.
Existen dos maneras de describir o especificar los elementos de un conjunto:
Una de ellas es mediante una definición intensiva o por comprensión, describiendo una condición que cumplen sus elementos :
A es el conjunto cuyos miembros son los números enteros positivos menores que 5.
B es el conjunto de colores de la bandera de México.
La segunda manera es por extensión, esto es, listando cada miembro del conjunto. En una definición extensiva se escriben los elementos del conjuntos entre llaves:
C = {4, 2, 3, 1}
D = {blanco, rojo, verde}
Puesto que un conjunto queda especificado únicamente por sus elementos, a menudo pueden usarse ambas definiciones, intensivas y extensivas, para especificar un mismo conjunto. Por ejemplo:
«El conjunto de las vocales en español» = {e, u, a, i, o}
En los ejemplos anteriores, se tiene que A = C y B = D
Debido a la propiedad de la extensionalidad, el orden en el que se especifiquen los elementos de un conjunto es irrelevante (a diferencia de una tupla o una sucesión). Por ejemplo:
C′ = {1, 2, 4, 3} es igual a C = {4, 2, 3, 1}
D′ = {verde, blanco, rojo} es igual a D = {blanco, rojo, verde}
Esto es así debido a que lo único que define un conjunto son sus elementos. Por ejemplo, cada elemento de D es un elemento de D′ y viceversa, luego ambos son necesariamente el mismo conjunto. Del mismo modo, y a diferencia de un multiconjunto, cada elemento de un conjunto es único: no puede repetirse o pertenecer «más de una vez». Esto significa que, por ejemplo:
{4, 3, 2, 4} = {4, 2, 3} ,
ya que los elementos de ambos conjuntos son los mismos: el 4, el 3 y el 2. No sería el caso si los números que consideramos tuvieran alguna otra propiedad que los diferenciase:
{4, 3, 2, 4} es distinto de {4, 2, 3} y de {4, 2, 3}
Es habitual utilizar las llaves también en las definiciones intensivas, especificando la propiedad que define al conjunto:
{Vocales del español} = {o, u, i, e, a}
{Palos de la baraja francesa} = {♠, ♣, ♥, ♦}
Otra notación habitual para denotar por comprensión es:
A = {m : m es un entero, y 1 ≤ m ≤ 5}
B = {c : c es un color de la bandera de México}
F = {n2 : n es un entero y 1 ≤ n ≤ 10} ,
donde en esta expresión los dos puntos («:») significan «tal que». Así, el conjunto F anterior es el conjunto de «los números de la forma n2 tal que n es un número natural entre 1 y 10 (ambos inclusive)», o sea, el conjunto de los diez primeros cuadrados de números naturales, {1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100}. En lugar de los dos puntos se utiliza también la barra vertical («|») uoblicua «/» .
Relación de pertenencia. El conjunto A es un conjunto de polígonos. En la imagen, algunas de las figuras pertenecen a dicho conjunto, pero otras no.
La relación clave en un conjunto es la pertenencia: cuándo es un elemento miembro de un conjunto. Si a es un miembro de B, se denota por a ∈ B, y si no lo es, se denota por a ∉ B. Por ejemplo, respecto a los conjuntos AB y F de la sección anterior, podemos decir:
4 ∈ A , 36 ∈ F , verde ∈ B , pero
7 ∉ A , 8 ∉ F , azul ∉ B
Y se dice entonces que 4 pertenece al conjunto A, 4 es un miembro de A, 4 está en A o A contiene 4.
Subconjuntos
Subconjunto. B es un subconjunto de A (en particular un subconjunto propio).
Un conjunto B es una parte o un subconjunto del conjunto A, si todo elemento de B es de A.
Un conjunto B es un subconjunto del conjunto A si cada elemento de B es a su vez un elemento deA.

   B \subset A
   \quad \longrightarrow \quad
   \forall a \in B : x \in A
Esta definición es equivalente a: «si todo elemento de un conjunto B pertenece también a otro conjunto A se dice que B esta contenido enA, o bien que B esta incluido en A. Esta idea se indica con el signo ⊂ y se lee 'esta contenido en'».8

Un conjunto B es un subconjunto del conjunto A si: la intersección entre A y B es el conjuntoB.

   B \subset A
   \quad \longrightarrow \quad
   A \cap B = B
Si B es un subconjunto de A, se escribe como B ⊂ A y se dice que «B está contenido en A». También puede escribirse A ⊃ B, y decirse que A es un superconjunto de B y también «A contiene a B» o «A incluye a B».
Subconjunto propio e impropios
En algunos textos de redacción antigua diferencian entre los subconjuntos: los subconjuntos, los subconjuntos propios y los impropios, esta notación no es aconsejable al ser obsoleta, dado que las estructuras algebraicas de orden y en álgebra de conjuntos, parten de la propiedad reflexiva, por eso un conjunto cualesquiera se considera un subconjunto de si mismo en todos los casos, y por ello se define:
Dados dos conjuntos A y B, se dice que B es un subconjunto de A, si todo elemento de B pertenece a A, según la siguiente notación:

   B \subseteq A
   \quad \longrightarrow \quad
   \forall x \in B : x \in A

Dados dos conjuntos A y B, se dice que B es un subconjunto propio de A, si todo elemento de B pertenece a A, siendo A y B conjuntos distintos.

   B \varsubsetneq A
   \quad \longrightarrow \quad
   \forall x \in B : x \in A
   \quad \and \quad
   \exists y \in A : y \notin B

Dados dos conjuntos A y B, si A = B, se dice también que A es un subconjunto impropio de B, y también que B es un subconjunto impropio deA.

   A = B
   \quad \longleftrightarrow \quad
   A \subseteq B
   \quad \and \quad
   B \subseteq A
Si B no sólo contiene algunos sino todos los elementos AB no sólo es un subconjunto de A, sino que ambos conjuntos son iguales, A = B. El otro caso posible es que B contenga algunos pero no todos los elementos de AB es un subconjunto de A pero no son iguales. Se dice entonces que B es un subconjunto propio de A y se denota B ⊊ A, es decir: B ⊆ A pero B ≠ A (y equivalentemente, para un superconjunto propio, A ⊋ B).
También se utiliza la notación B ⊂ A y A ⊃ B, pero según el autor esto puede denotar subconjunto, B ⊆ A y A ⊇ B; o subconjunto propio, B ⊊ A y A ⊋ B.
Ejemplos.
El «conjunto de todos los hombres» es un subconjunto propio del «conjunto de todas las personas».
{1, 3} ⊊ {1, 2, 3, 4}
{1, 2, 3, 4} ⊆ {1, 2, 3, 4}
Conjuntos disjuntos
A y B son conjuntos disjuntos.
Un conjunto A es disjunto a otro B si los elementos de A no pertenecen a B:

   \forall x \in A : x \notin B
la disjunción de conjuntos es reciproca y si A es disjunto de BB es disjunto de A:

   \forall x \in A : x \notin B
   \quad \longleftrightarrow  \quad
   \forall x \in B : x \notin A
Por lo tanto dos conjuntos A y B son disjuntos si no tienen elementos comunes, que también puede decirse:
Los conjuntos A y B sin disjuntos si: la intersección entre A y B es el conjunto vacío.

   A\ {\rm y} \ B\ {\rm disjuntos}
   \quad \longrightarrow \quad
   A \cap B = \varnothing
Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos. En el caso de un conjunto finito podemos contar los elementos del conjunto:
El número de elementos de un conjunto es su cardinal, si el conjunto es finito el cardinal será un número entero
El cardinal se denota por |A|, card(A) o #A. Así, en los ejemplos anteriores, se tiene que |A| = 4 (cuatro números), |B| = 3 (tres colores) y |F| = 10 (diez cuadrados). El único conjunto cuyo cardinal es 0 es el conjunto vacío ∅.
En un conjunto infinito no hay un número finito de elementos. Es el caso por ejemplo de los números naturales: N = {1, 2, 3, ...}. Sin embargo, los conjuntos infinitos pueden compararse, y resulta que existen conjuntos infinitos «más grandes» que otros. El «número de elementos» de un conjunto infinito es un número transfinito.
Operaciones con conjuntos
Operaciones con conjuntos
Unión
Unión
Intersección
Intersección
Diferencia
Diferencia
Complemento
Complemento
Diferencia simétrica
Diferencia simétrica
Existen varias operaciones básicas que pueden realizarse para, partiendo de ciertos conjuntos dados, obtener nuevos conjuntos:
  • Unión: (símbolo ∪) La unión de dos conjuntos(A y B), que se representa como A ∪ B), es el conjunto de todos los elementos que pertenecen al menos a uno de los conjuntos A y B.
  • Intersección: (símbolo ∩) La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∩ B de los elementos comunes a A y B.
  • Diferencia: (símbolo \) La diferencia del conjunto A con B es el conjunto A \ B que resulta de eliminar de A cualquier elemento que esté en B.
  • Complemento: El complemento de un conjunto A es el conjunto A que contiene todos los elementos que no pertenecen a A, respecto a un conjunto U que lo contiene.
  • Diferencia simétrica: (símbolo Δ) La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es el conjunto A Δ B con todos los elementos que pertenecen, o bien a A, o bien a B, pero no a ambos a la vez.
  • Producto cartesiano: (símbolo ×) El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto A × B de todos los pares ordenados (ab) formados con un primer elemento a perteneciente a A, y un segundo elemento b perteneciente a B.
Ejemplos
  • {1, a, 0} ∪ {2, b} = {2, b, 1, a, 0}
  • {5, z, ♠} ∩ {♠, a} = {♠}
  • {5, z, ♠} \ {♠, a} = {5, z}
  • {♠, 5} Δ {8, #, ♠} = {5, #, 8}
  • {1, a, 0} × {2, b} = {(1, 2), (1, b), (a, 2), (ab), (0, 2), (0, b)}



MOMENTOS

MOMENTOS




Los momentos son una forma de generalizar toda la teoría relativa a los parámetros estadísticos y guardan relación con una buena parte de ellos.
Dada una distribución de datos estadísticos x1x2, ..., xn, se define el momento central o momento centrado de orden k como
\mu_k = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^k}{n}
Para variables continuas la definición cambia sumas discretas por integrales (suma continua), aunque la definición es, esencialmente, la misma.
De esta definición y las propiedades de los parámetros implicados que se han visto más arriba, se deduce inmediatamente que:
\mu_0 = 1; \; \mu_1 = 0; \; \mu_2 = \sigma^2; \;
y que
\gamma_1 = \frac{\mu_3}{\mu_2^3}; \; \;  \gamma_2 = \frac{\mu_4}{\mu_2^4}
Se llama momento no centrado de orden k a la siguiente expresión:
m_k = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i)^k}{n}
De la definición se deduce que:
m_0 = 1; \; m_1 = \bar{x}; \; m_2 - m_1^2 = \sigma^2;
Usando el binomio de Newton, puede obtenerse la siguiente relación entre los momentos centrados y no centrados:
\mu_k = \sum_{i=1}^n (-1)^k {k\choose i} m_{k-i} m_1 ^i
Los momentos de una distribución estadística la caracterizan unívocamente

APUNTAMIENTO

APUNTAMIENTO




El coeficiente de apuntamiento de uso más extendido es el basado en el cuarto momento con respecto a la media y se define como:
\beta_2=\frac{\mu_4}{\sigma^4}
donde \mu_4 es el 4º momento centrado o con respecto a la media y \sigma es la desviación estándar.

En ocasiones se emplea esta otra definición del coeficiente de curtosis:
g_2=\frac{\mu_4}{\sigma^4}-3
donde al final se ha sustraido 3 (que es la curtosis de la Normal) con objeto de generar un coeficiente que valga 0 para la Normal y tome a ésta como referencia de apuntamiento:
Tomando, pues, la distribución normal como referencia, una distribución puede ser:
  • más apuntada y con colas más anchas que la normal –leptocúrtica.
  • menos apuntada y con colas menos anchas que la normal- platicúrtica.
  • la distribución normal es mesocúrtica.
En la distribución normal se verifica que \mu_4=3\sigma^4, donde \mu_4 es el momento de orden 4 respecto a la media y \sigma la desviación típica.

Así tendremos que:
  • Si la distribución es leptocúrtica \beta_2>3 y g_2>0
  • Si la distribución es platicúrtica \beta_2<3 y g_2<0
  • Si la distribución es mesocúrtica \beta_2=3 y g_2=0

Otra forma de medir la curtosis se obtiene examinando la fórmula de la curtosis de la suma de variables aleatorias. Si Y es la suma de n variables aleatorias estadísticamente independientes, todas con igual distribución X, entonces Kurt[Y] = \frac{Kurt[X]}{n}, complicándose la fórmula si la curtosis se hubiese definido como \frac{\mu_4}{\sigma^4}.